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Qu’est-ce qu’un objet mathématique ?
du 26 février au 4 juin 2014
de 18h à 20h
Séminaire ouvert
L’objectif de ce séminaire est de s’interroger philosophiquement sur la nature des objets mathématiques à travers le cas archétypal du nombre.
Cela peut intéresser toute personne qui se questionne sur la relation entre mathématique et réalité (les mathématiques décrivent-elles adéquatement le réel ?), ou toute personne soucieuse de mettre à jour ses connaissances.
Le séminaire n’est absolument pas destiné à un public de spécialiste des mathématiques (même s’ils sont les bienvenus). Il est évidemment ouvert aux doctorants. Les concepts mathématiques y seront présentés de la façon la plus claire possible (nombreuses images et illustrations).
Calendrier
— Première séance, mercredi 26 février 2014, de 18h à 20h (salle OBM1) :
Le nombre, de la préhistoire jusqu’au début de l’Antiquité. En croisant les données de l’archéologie des mathématiques, de la psychologie cognitive et des neurosciences, nous verrons que les nombres ne sont pas des entités idéales ou abstraites mais le fruit de l’adaptation de l’homme à son environnement et surtout à ses propres facultés. Les êtres humains ont inventé le nombre pour optimiser leurs propres capacités numériques innées.
— mercredi 19 mars 2014, de 18h à 20h (salle OBM2) :
Le nombre durant l’Antiquité, la découverte des incommensurables et de l’infiniment petit, le passage du multiple d’un au multiple d’uns.
Les êtres humains sont dotés de capacités numériques innées : des nouveaux-nés peuvent déjà comparer des quantités entre elles. Mais qu’est-ce qu’une quantité pour un nouveau-né ? Après avoir utilisé les données issues de la psychologie cognitive, nous mobiliserons celles des neurosciences pour répondre à cette question. Nous traiterons en particulier de la différence entre machine analogique (synthétiseur) et machine numérique (ordinateur) et nous verrons que les scientifiques traitent actuellement le cerveau comme une machine analogique et non plus comme un ordinateur.
Cette analyse nous permettra de faire la différence entre une capacité numérique et une représentation, et plus précisément entre une capacité, une représentation codée, et une représentation imagée. A partir de cette différence, nous pourrons alors nous interroger sur la façon dont les êtres humains se représentent les nombres. Nous verrons en particulier pour quelle raison la représentation des nombres est bouleversée à partir de l’Antiquité par la découverte des incommensurables et de l’infiniment petit.
Comme la dernière fois, nous tâcherons de présenter simplement et clairement les principales notions (machine analogique, machine digitale, nombre naturels, rationnels, irrationnels, grandeurs incommensurables, infiniment petit). Nous croiserons encore une fois les résultats de plusieurs disciplines : archéologie des mathématiques, histoire des mathématiques, neurosciences, psychologie cognitive.
— avril 2014 : Le nombre au XVIIe siècle, une nouvelle mathématique, nouvel infini, nouveaux concepts (fonction, géométrie des coordonnées, calcul infinitésimal, etc.). Les mathématiques deviennent-elles contradictoires ?
— mai 2014 : Le nombre à la fin du XIXe siècle et début XXe siècle. Passage du multiple d’uns au multiple de zéro. Les mathématiques deviennent une science des relations (théorie des ensembles, théorie des catégories).
— mercredi 4 juin 2014 de 18h à 20h (salle OBM1) :
Dompter les nombres irrationnels et l’infini : Dedekind et Cantor, le point et la relation.
Les Classiques (Leibniz, Descartes, etc.) ont inventé un nouveau concept d’infini : l’infini actuel. Celui-ci leur permet de penser de nouveaux nombres : les nombres irrationnels. Mais leur approche de l’infini soulève des difficultés insurmontables : les mathématiques semblent devenues une science contradictoire. Comment les modernes sont-ils parvenus à sortir de cette impasse ? Autrement dit, comment élaborer, sans énoncer des absurdités, un concept de nombre irrationnel et d’infini actuel ? Qu’est-ce qu’un nombre selon les perspectives de Dedekind, Peano ou Cantor ? En conclusion, nous observerons que les solutions apportées par les Modernes (Cantor, Dedekind) aux difficultés rencontrées par les Classiques ont néanmoins généré des difficultés inédites. Nous entreverrons alors mieux la « nature » des objets mathématiques au XXe siècle et leur évolution profonde depuis l’Antiquité.
Contact : Sébastien Miravète, oliwinwin@hotmail.com
Lieu : Université Toulouse II-Le Mirail, Salles OBM1-OBM2
(derrière la Maison de la Recherche)
